Abbiamo visto che quando non conosciamo lo spazio campionario e quindi nemmeno il numero di eventi favorevoli, possiamo individuarli a posteriori attraverso un altissimo numero di ripetizioni dell'esperimento. Nel caso del lancio dei dadi noi sappiamo già che abbiamo tre possibilità (eventi favorevoli) su sei (spazio campionario) che esca un numero pari o dispari.
Abbiamo visto che la probabilità che un evento si realizzi è compreso tra zero e uno in cui il secondo valore si riferisce all'esito certo e il primo all'esito impossibile.
La somma delle probabilità che esca testa o croce in un lancio di una monetina, è uguale a 1, cioè sappiamo con certezza assoluta che uscirà uno dei due risultati.
Ora invece occupiamoci delle leggi delle probabilità in quei casi in cui possiamo:
1) Individuare che si verifichi un fatto A o un fatto B. Se si verifica un fatto A o un fatto B vuol dire che non possono avvenire insieme e allora si dicono incompatibili o reciprocamente escludentesi. Se si verifica A è impossibile che si verifica B.
2) Individuare che si verifichi un fatto A e un fatto B assieme. Qui parliamo invece di fatti compatibili. Sono compatibili ma indipendenti quando il verificarsi di A non influenza il contemporaneo verificarsi di B (o viceversa). Si chiamano invece compatibili dipendenti quando la probabilità di A influenza il verificarsi di B cioè che B si verifichi a condizione che si sia verificato A.
Cominciamo subito con un esempio relativo al primo caso. Quante probabilità abbiamo di pescare il re di cuori da un mazzo di 52 carte? Ovviamente 1/52 che abbiamo visto corrisponde circa al 2%. Questa è la probabilità per un evento cosiddetto semplice.
Ma quante probabilità ho di pescare un re o un 2 o un 7 o un 4 su 52 carte? Ho 4 probabilità su 52 per ognuna delle 4 carte (perché i semi sono quattro: cuori, quadri, picche e fuori). A questo punto si sommano le singole probabilità: 4 probabilità su 52 che esca un re, 4 su 52 che esca un 4, 4 su 52 che esca un 7 e lo stesso per il 2 4/52+4/52+4/52+4/52= 16/52= 0,31x100= 31%. Abbiamo il 31% di estrarre una tra quelle carte in un mazzo di 52 carte. Questa si chiama probabilità legata a eventi disgiunti (probabilità che esca o una o l'altra o l'altra carta) mutualmente esclusivi.
Esistono casi in cui la somma dei singoli eventi ci riporta un valore che non è compreso tra zero e uno, ma che è superiore. Non possiamo accettare esiti superiori a 1 perché appunto sappiamo che lo 0 corrisponde a esito impossibile (0%) e 1 a esito certo (100%). Lo abbiamo visto prima: 0,32 è inferiore al valore di 1. Quindi ci occorre una formula per gestire certi risultati. Proviamo subito con un esempio pratico utilizzando il solito lancio di dadi per calcolare la probabilità congiunta di due eventi.
Ipotizziamo di dover stabilire quante probabilità abbiamo che con un lancio esca un numero superiore al'1 (primo evento). Le facce sono 6 e pertanto è di 5 su 6: 5/6. Ora mettiamo di voler conoscere la probabilità che esca un numero qualsiasi ma pari (secondo evento), lo abbiamo visto è di 3/6 (3 facce contengono numeri pari e 3 facce numeri dispari, totale facce=6)
Quanto è la probabilità che esca un numero superiore a uno o pari? (probabilità congiunta dei due eventi):
5/6+3/6= 8/6= 1,3 (1,3x100= 130%)
Se 1 corrisponde al 100% 1,3 è un risultato non possibile appunto perché il massimo raggiungibile è 1. Allora si contano i casi in cui possiamo soddisfare contemporaneamente il requisito che esca un numero superiore a 1 e pari. I numeri superiori a 1 sono 5, ma quelli che contemporaneamente sono pari sono 3 e sono il 2, il 4 e il 6. Quindi abbiamo 3 possibilità su 6 che esca un numero superiore a 1 e che sia pari.
Pertanto alla somma precedente si sottrae questo calcolo relativo al soddisfacimento delle due condizioni iniziali (superiore a 1 e pari). Così abbiamo: 5/6 + 3/6 - 3/6= 5/6= 0,83x100= 83%. Ora sappiamo che la probabilità che possa uscire un numero superiore a 1 o pari è del 83% e non del 130% come calcolato con la formula precedente.
Ma quante probabilità ho di pescare un re o un 2 o un 7 o un 4 su 52 carte? Ho 4 probabilità su 52 per ognuna delle 4 carte (perché i semi sono quattro: cuori, quadri, picche e fuori). A questo punto si sommano le singole probabilità: 4 probabilità su 52 che esca un re, 4 su 52 che esca un 4, 4 su 52 che esca un 7 e lo stesso per il 2 4/52+4/52+4/52+4/52= 16/52= 0,31x100= 31%. Abbiamo il 31% di estrarre una tra quelle carte in un mazzo di 52 carte. Questa si chiama probabilità legata a eventi disgiunti (probabilità che esca o una o l'altra o l'altra carta) mutualmente esclusivi.
Esistono casi in cui la somma dei singoli eventi ci riporta un valore che non è compreso tra zero e uno, ma che è superiore. Non possiamo accettare esiti superiori a 1 perché appunto sappiamo che lo 0 corrisponde a esito impossibile (0%) e 1 a esito certo (100%). Lo abbiamo visto prima: 0,32 è inferiore al valore di 1. Quindi ci occorre una formula per gestire certi risultati. Proviamo subito con un esempio pratico utilizzando il solito lancio di dadi per calcolare la probabilità congiunta di due eventi.
Ipotizziamo di dover stabilire quante probabilità abbiamo che con un lancio esca un numero superiore al'1 (primo evento). Le facce sono 6 e pertanto è di 5 su 6: 5/6. Ora mettiamo di voler conoscere la probabilità che esca un numero qualsiasi ma pari (secondo evento), lo abbiamo visto è di 3/6 (3 facce contengono numeri pari e 3 facce numeri dispari, totale facce=6)
Quanto è la probabilità che esca un numero superiore a uno o pari? (probabilità congiunta dei due eventi):
5/6+3/6= 8/6= 1,3 (1,3x100= 130%)
Se 1 corrisponde al 100% 1,3 è un risultato non possibile appunto perché il massimo raggiungibile è 1. Allora si contano i casi in cui possiamo soddisfare contemporaneamente il requisito che esca un numero superiore a 1 e pari. I numeri superiori a 1 sono 5, ma quelli che contemporaneamente sono pari sono 3 e sono il 2, il 4 e il 6. Quindi abbiamo 3 possibilità su 6 che esca un numero superiore a 1 e che sia pari.
Pertanto alla somma precedente si sottrae questo calcolo relativo al soddisfacimento delle due condizioni iniziali (superiore a 1 e pari). Così abbiamo: 5/6 + 3/6 - 3/6= 5/6= 0,83x100= 83%. Ora sappiamo che la probabilità che possa uscire un numero superiore a 1 o pari è del 83% e non del 130% come calcolato con la formula precedente.